“Most people believe they are well above average, which clearly is a statistical impossibility” (“Die meisten Menschen denken, sie sind besser als der Durchschnitt. Das ist eine statistische Unmöglichkeit”).
Das steht in dem superinteressanten Buch “The Surprising Science of Meetings” (1). Und es ist ein üblicher Denkfehler wenn es um Statistik, Durchschnitt und den eigentlich gedachten und gemeinten Median geht (2).
Wie kann es sein, dass mehr Menschen besser als der Durchschnitt sind und ich immer wieder solche Sachen lese wie:
- 85% der Manager denken sie seien überdurchschnittliche Manager
- 90% der Befragten halten sich für überdurchschnittliche Autofahrer
Mir geht es heute nicht um den Dunning-Kruger-Effekt, der wohl zeigt, dass wir uns tatsächlich gerne für besser halten als die anderen und wir uns in unseren Selbsteinschätzungen gerne überschätzen. Und das umso stärker, je inkompetenter wir auf diesem Gebiet sind. Das ist ein Thema für einen zukünftigen Post.
Es geht mir heute um eine mathematische Kleinigkeit, um die Verwechslung zwischen Median und Durchschnitt.
Durchschnitt
Beim Durchschnitt, auch Mittelwert genannt, handelt es sich um eine Zahl, die aus anderen Zahlen mithilfe einer Rechenvorschrift errechnet wird. Sehr oft bis meistens wird in der BWL das arithmetische Mittel verwendet.
Sechs Menschen mit unterschiedlichem Gewicht wollen wissen wie schwer sie im Durchschnitt sind und fangen an zu rechnen:
96 + 94 + 92 + 82 +82 +40 = 486 kg wiegen sie gemeinsam.
und 486 kg / 6 = 81 kg wiegen sie im arithmetischen Mittel.
Wieviele Menschen sind schwerer als der Mittelwert? Fünf sind schwerer und nur eine Person ist leichter (40 kg).
Also sind 5/6 = 83 % der Personen schwerer als der Durchschnitt. Eine statistische Unmöglichkeit? Nur zufällig ist das in der Größenordnung wie die 85% der oben genannten Manager ….
Der Durchschnitt sagt also nichts über die Verteilung der einzelnen Werte aus. Durch den Ausreisser mit 40 kg liegen die anderen Personen schnell und einfach über dem Durchschnitt.
Median
Der Median ist Wert über dem die eine Hälfte der Menge liegt und unter dem die andere Hälfte der Menge liegt. Dazu werden alle Werte auf- oder absteigend geordnet.
Handelt es sich um eine ungerade Anzahl an Personen, ist der Wert der Median für den es genauso viele größere wie kleinere Werte gibt.
Bei einer geraden Anzahl von Menschen kann man den Mittelwert der beiden mittleren Zahlen nehmen.
Somit haben wir also 50% der Personen mit einem Gewicht über dem Median und 50% der Personen mit einem Gewicht unter dem Median.
Besser als der Durchschnitt
Also könnten tatsächlich 85% aller Manager oder 90% aller Autofahrer besser als der Durchschnitt sein. Insbesondere wenn es einige besonders schlechte gibt, die den Durchschnitt senken.
Es können natürlich auch viele Menschen schlechter als der Durchschnitt sein. So können zum Beispiel 20 von 30 Deutschen nicht richtig Prozentrechnen. Das sind über 80%!
… und jetzt?
Manchmal darf ich genauer hinschauen und wirklich verstehen, was passiert. Das gilt nicht nur bei statistischen Kleinigkeiten, sondern auch bei der Auswahl von Mitarbeitern, bei Marktanalysen, dem Erstellen von Präsentationen oder von Businessplänen. Manche Sachen wirken so einleuchtend oder klar, und sind doch nicht so einfach.
Klingt alles einfach und richtig, oder?
Findest Du den Fehler?
Foto: napri / photocase.de
Zeichnungen: Autor
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Fußnoten:
(1) “The Surprising Science of Meetings – How can you lead your team to peak performance”, Steven G. Rogelberg, S. 26,
(2) Im weiteren Verlauf wird dann immer auch richtigerweise der Median genannt.
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Christian Kohlhof ist der MentorCoach. Sein Purpose ist es Unternehmern zu helfen mit ihren schnell wachsenden Unternehmen ihre Ziele zu erreichen – mit Hilfe ihrer Mitarbeiter.